最有趣數(shù)學(xué)：畢達(dá)哥拉斯樹，勾股定理畫出的一棵樹

導(dǎo)語(yǔ)：畢達(dá)哥拉斯樹是由畢達(dá)哥拉斯利用勾股定理畫出的一個(gè)無(wú)限重復(fù)圖形，因?yàn)檎�體圖形的形狀像一棵樹，所以也被稱為“勾股樹”，但是由于重疊限制，現(xiàn)實(shí)中的畢達(dá)哥拉斯樹的面積是有限的6乘4，下面就跟著探秘志小編一起來(lái)看看吧!

畢達(dá)哥拉斯樹是什么?

雖說(shuō)數(shù)學(xué)是十分枯燥的，但是科學(xué)家總能從中找到無(wú)限的樂趣，畢達(dá)哥拉斯樹就是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，利用勾股定理所畫出的一個(gè)無(wú)限重復(fù)圖形，當(dāng)重復(fù)的次數(shù)夠多時(shí)，就會(huì)形成一個(gè)樹的形狀，所以也有人稱之為“勾股樹”。

直角三角形和它的三條邊延伸出的三個(gè)正方形，都具備著一些神奇的特征，比如直角三角形的面積小于等于大正方形面積的1/4，大于等于小正方形的1/2，而且兩個(gè)小正方形等于大正方形的面積，同一次的所有小正方形面積和等于最大的正方形面積。

畢達(dá)哥拉斯樹的簡(jiǎn)單畫法

眾所周知勾股定理就是直角三角形的兩個(gè)直角邊的平方和，等于斜邊的平方，畢達(dá)哥拉斯利用這一點(diǎn)，在初始的大正方形上，做出了兩個(gè)全等的小正方形，在以此類推，無(wú)限重復(fù)的做出各種大小不一的正方形，就形成了茂密的“畢達(dá)哥拉斯樹”。

由于三個(gè)正方形的內(nèi)部形成了一個(gè)等腰直角三角形，所以通過勾股定理可得，小正方形的邊長(zhǎng)是大正方形的√2/2，在通過對(duì)小正方形重復(fù)上述過程，無(wú)限重復(fù)下去。如果假設(shè)其中的大正方形邊長(zhǎng)為1，在增加到第n 次時(shí)，會(huì)增加2n個(gè)小正方形，而每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)就是√2/2，則每一次增加的面積就是2n×(½√2)=1。

畢達(dá)哥拉斯樹是無(wú)限的嗎?

理論上來(lái)看，畢達(dá)哥拉斯樹是可以無(wú)限重復(fù)的，因?yàn)閷⑸显V的公式中的n設(shè)為無(wú)限次后，畢達(dá)哥拉斯樹的面積就會(huì)趨于無(wú)限大。勾股樹的面積也會(huì)更加茂密，但是在現(xiàn)實(shí)中并非如此。

因?yàn)楫?dāng)n大于5時(shí)，所有產(chǎn)生的小正方體互相重疊，所以畢達(dá)哥拉斯樹的面積其實(shí)是有限的。因此畢達(dá)哥拉斯樹其實(shí)只能生長(zhǎng)在一個(gè)6×4的方格中里，當(dāng)然具體的值不太容易求出。

畢達(dá)哥拉斯樹的變種

最初的畢達(dá)哥拉斯樹中的大正方形和小正方形夾角是不等的，所以有一種畢達(dá)哥拉斯樹的變種就是改變夾角，當(dāng)最開始的大正方形和小正方形之間的夾角變?yōu)?0度時(shí)，中間的三角形就會(huì)變成等邊三角形，這樣每一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是相等的。

但是這種變種也和正常的畢達(dá)哥拉斯樹一樣，是有限的，達(dá)到第四步的時(shí)候就會(huì)發(fā)生重疊，最后就會(huì)形成一個(gè)大六邊形，里面全是邊長(zhǎng)相等的正方形。

結(jié)語(yǔ)：數(shù)學(xué)中還有不少有趣的現(xiàn)象，除了畢達(dá)哥拉斯樹，還有結(jié)果永遠(yuǎn)是123的123黑洞，以及世界上最神奇的數(shù)字142857，都是數(shù)學(xué)上的智慧結(jié)晶。