數(shù)學(xué)史上的第四次危機(jī)：無(wú)限循環(huán)小數(shù)悖論（0.999...=1）

導(dǎo)語(yǔ)：說(shuō)到數(shù)學(xué)史上三大重要危機(jī)，大家應(yīng)該都有所耳聞。但是說(shuō)到第四次可能很多人都摸不著頭腦，實(shí)際上第四次危機(jī)爆發(fā)時(shí)間至今已經(jīng)20多年了，不過(guò)當(dāng)時(shí)因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)不發(fā)達(dá)的緣故，所以不為人所知，下面探秘志小編帶大家深刻了解一下。

數(shù)學(xué)史上的第四次危機(jī)

第四次數(shù)學(xué)危機(jī)準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)是數(shù)論，主要是說(shuō)數(shù)論的研究對(duì)象不僅僅是數(shù)。假如有一門學(xué)科分別研究：人、樹(shù)、花，那么這門學(xué)科叫花學(xué)，相應(yīng)理論稱為花論，實(shí)際上這并不合理，主要討論的還是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，有關(guān)集合論的相關(guān)問(wèn)題。

集合的類名用集合中的元素命名實(shí)際上并不十分合理，雖然強(qiáng)行命名沒(méi)有太大的關(guān)系，但是有些地方還是比較奇怪。

無(wú)限循環(huán)小數(shù)悖論

無(wú)限循環(huán)小數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些知識(shí)，在很多時(shí)候會(huì)出現(xiàn)除不盡的情況，比如

1&pide;9 = 0.111111…(數(shù)字1無(wú)限循環(huán))

1&pide;3 = 0.333333…(數(shù)字3無(wú)限循環(huán))

1&pide;1.3 = 0.769230769230769230…(數(shù)字串769230無(wú)限循環(huán))

無(wú)限循環(huán)小數(shù)具有特殊的性質(zhì)：

(1)它的循環(huán)體至少有一位數(shù)字;

(2)它沒(méi)有最后一位，永遠(yuǎn)寫(xiě)不到頭。

無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.999…更是奇怪�，F(xiàn)有的數(shù)學(xué)體系既能證明它等于1，又能證明它不等于1。

我們首先證明無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.999…等于1。

數(shù)學(xué)課本上寫(xiě)著：無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)

0.111… = 1/9 (1)

兩邊同時(shí)乘以9，得

0.999… = 9/9 (2)

故有

0.999… = 1 (3)

證畢。

現(xiàn)在，我們?cè)僮C明無(wú)限循環(huán)小數(shù) 0.999… 不等于1。

設(shè) n 是無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.999…中9的個(gè)數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法

n = 1時(shí)，0.9 ≠ 1成立;

n = 2時(shí)，0.99 ≠ 1成立;

n = 3時(shí)，0.999 ≠ 1成立;

……

n = ∞時(shí)，0.999… ≠ 1成立;

于是

0.999… ≠ 1 (4)

證畢。

這兩種辦法都是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法，但是得出的結(jié)論卻截然不同，互相矛盾，這一悖論被稱為“無(wú)限循環(huán)小數(shù)悖論”。這一悖論的出現(xiàn)嚴(yán)重影響了當(dāng)代數(shù)學(xué)，并且?guī)��?lái)了比較嚴(yán)重的危機(jī)，甚至給摧毀當(dāng)代數(shù)學(xué)體系。

結(jié)語(yǔ)：在人類數(shù)學(xué)的發(fā)展中，一共出現(xiàn)了三次比較嚴(yán)重的危機(jī)，每一次都為數(shù)學(xué)帶來(lái)了更多的發(fā)展，可以預(yù)見(jiàn)經(jīng)過(guò)這次悖論，數(shù)學(xué)將更加發(fā)展進(jìn)步。