在接受了九年義務(wù)教育的人都知道,平行線永遠不會相交,無論如何延伸或縮短,它們始終保持相互平行的關(guān)系。然而,有一個人卻提出了一個看似匪夷所思的說法:平行線是能相交的。最初,他的觀點遭到了質(zhì)疑,甚至一直未能得到認可。直到他去世后的12年,人們才發(fā)現(xiàn),他才是真正的天才。
這位數(shù)學(xué)家的思考源自歐幾里得的第五公設(shè)。公元前3世紀(jì),希臘幾何學(xué)家和數(shù)學(xué)家歐幾里得編纂了古希臘幾何學(xué)的巨著《幾何原本》。這部作品包含了幾何學(xué)的基本原理、定理和證明,成為幾何學(xué)教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)手冊長達兩千多年。其中,第五公設(shè)描述了直線和平行線之間的關(guān)系,成為幾何學(xué)的基石。
這第五公設(shè)一直讓人感到奇怪,因為它似乎不同于其他的公設(shè)。它陳述道:如果一條直線與另外兩條直線相交,使得內(nèi)角和小于180度的兩個同邊內(nèi)角之和小于180度,那么這兩條直線在這一邊延長的部分將相交。這個陳述看起來不像一個定理,反而更像是一個需要證實的任務(wù),似乎歐幾里得在這里留下了一個難以解答的問題。
歷代數(shù)學(xué)家試圖通過其他公設(shè)和推論來證明第五公設(shè),但一直未能成功。直到19世紀(jì)初,俄羅斯數(shù)學(xué)家尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基改變了思路。他采用了反證法,這是一種基于邏輯推理的原理,通過假設(shè)命題的否定為真,然后推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論,從而得出原命題的真實性。
羅巴切夫斯基的反證法的出發(fā)點是第五公設(shè)的等價命題,即普列菲爾公理。這個公理陳述了過平面直線外一點,只能引一條直線與已知直線不相交。他的否定命題很簡單:過平面上直線外一點,至少可引兩條直線與已知直線不相交。基于這個否定命題和其他被認為合理的公設(shè),羅巴切夫斯基構(gòu)建了一個新的公理系統(tǒng),開始進行邏輯推演。
在推演的過程中,他得到了一系列看似古怪且與常規(guī)幾何相悖的命題。然而,經(jīng)過仔細審查,他發(fā)現(xiàn)這些命題之間并沒有邏輯矛盾。于是,他斷言這是一種新的幾何理論,其邏輯嚴(yán)密性和完整性可以與歐幾里得幾何媲美。
羅巴切夫斯基的理論并未受到學(xué)術(shù)界的認可。他的觀點遭到了當(dāng)時學(xué)術(shù)界的冷漠和反對。即便是德國數(shù)學(xué)家高斯,雖然能夠理解和欣賞羅巴切夫斯基的觀點,但出于膽小的原因,并未公開支持他。羅巴切夫斯基在人生的最后時光,仍然未能看到自己理論的正式認可。
1856年,羅巴切夫斯基在口述完自己最后的著作后,郁悶地離開了人世。然而,12年后,一位意大利數(shù)學(xué)家發(fā)表了論文《非歐幾何解釋的嘗試》,證明了非歐幾何可以在歐式幾何的曲面上實現(xiàn)。非歐幾何終于得到了學(xué)術(shù)界的認可,而羅巴切夫斯基也因此被譽為幾何學(xué)界的哥白尼。
羅巴切夫斯基是一位在逆境中勇敢拼搏的數(shù)學(xué)家,是數(shù)學(xué)界的真正巨人。他不僅挑戰(zhàn)了歐幾里得的第五公設(shè),更通過反證法開創(chuàng)了一種新的幾何理論。他的貢獻雖然未能在他的一生中得到應(yīng)有的尊重,但他的理論最終改變了數(shù)學(xué)的面貌,為后來的研究奠定了基礎(chǔ)。羅巴切夫斯基的非歐幾何理論成為了數(shù)學(xué)歷史上不可忽視的一部分,證明了勇于挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的力量最終能夠改變世界。